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Mathematik

Logarithmus

dezimaler Logarithmus (und rückwärts):

10^4       = 10000
log(10000) = 4

wenn ein Programm nur den natürlichen Logarithmus „ln(x)“ berechnen kann (wie z.B. das Komandozeilenwerkzeug „bc“), man aber den dezimaler Logarithmus „log(x)“ berechnen möchte, dann kann man das wie olgt tun:

ln(10000)/ln(10) = 4

> echo "l(10000)/l(10)" | bc -l
4.00000000000000000000

Kreiszahl: Pi

Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben „Pi“, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.

Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben „Pi“ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Pi auf 51 Stellen hinter dem Komma genau:

Pi=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von „Pi“ keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

„Pi“ = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]

per Script

#!/bin/bash

echo "3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4" \
| tr -s '[;,]' '\n' \
| tac \
| while read ZAHL
do
        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
                FORMEL="${ZAHL}"
        else
                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
        fi
        echo "${FORMEL}"
done | tail -n1 | sed -e 's/.*/scale=201;&/' | bc -sl
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307\
81640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058\
2231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381958

Goldener Schnitt (Phi)

Durch den Goldenen Schnitt, Goldene Zahl, Phi oder auch göttliche Teilung wird ein Zahlenwert bezeichnet, den man in der Natur vielerorts wieder findet.

Die Phi ist eine irrationale Zahl, das heißt sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch algebraisch vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Phi (Goldene Zahl): (1 + sqrt(5)) / 2 = (1 + (5^(1/2))) / 2 = 1,61803398…

Es ist aber auch möglich, die Phi aus zwei aufeinander folgenden Zahlen der Fibonacci-Folge zu errechnen. Je größer die gewählten Zahlen aus der Fibonacci-Folge sind, desto genauer ist das Ergebnis.

per Script

#!/bin/bash

ANZAHL=12

F1=0
F2=1

seq 1 ${ANZAHL} | while read NR
do
      F0="${F1}"
      F1="${F2}"
      F2="$(echo "${F0} ${F1}" | awk '{print $1 + $2}')"
      echo "${F1} ${F2}"
done | tail -n1 | awk '{print $2 / $1}'
1.61806

oder etwas genauer:

#!/bin/bash

ANZAHL=1000

F1=0
F2=1

seq 1 ${ANZAHL} | while read NR
do
      F0="${F1}"
      F1="${F2}"
      F2="$(echo "${F0} ${F1}" | awk '{print $1 + $2}')"
      echo "${F2}/${F1}"
done | tail -n1 | sed -e 's/.*/scale=64;&/' | bc -sl
1.6180339887498947632616049556262288464091295010575358933548097604

Ägyptische Brüche

Die Ägypter haben in Stammbrüchen gerechnet:

zerlegen_in_stammbrueche.py
#!/usr/bin/python3
 
from fractions import Fraction
 
def greedy (x, forceOdd = False):
        L = []
        print(str(x) + " = ", end = "")
        while x > 0:
                inv = Fraction(1) / x
                u = int(inv)
                if u < inv:
                        u += 1
                if forceOdd and u % 2 == 0:
                        u += 1
                f = Fraction(1, u)
                L.append(f)
                x -= f
        print(" + ".join(map(str, L)))
 
print greedy(Fraction(20, 21))

21/21 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/126

Mit Hilfe der Farey-Folge kann man sympatischere Stammbrüche als Lösung finden.

Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen (den Fibonacci-Zahlen), bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition der beiden vorherigen Zahlen ergibt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Benannt ist sie nach Leonardo Fibonacci, der damit 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Reihe war aber schon in der indischen und westlichen Antike bekannt.

per Script

#!/bin/bash

ANZAHL=12        # max: 1477

F1=0
F2=1

echo "${F1}"
echo "${F2}"
seq 3 ${ANZAHL} | while read NR
do
      F0="${F1}"
      F1="${F2}"
      F2="$(echo "${F0} ${F1}" | awk '{print $1 + $2}')"
      echo "${F2}"
done
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89

Zusammenhang zwischen Pi, Phi und der Fibonacci-Folge

siehe auch: Der goldene Schnitt und die Fibonacci-Folge

In dem Video Die Pyramiden Lüge habe ich erfahren, dass das Quadrat von Phi = 5/6 von Pi ist und da ich ja bereits weiß, wie man Phi aus der Fibonacci-Folge berechnet, kann ich den genauen Zusammenhang hier demonstrieren.

Als erstes benötigen wir zwei sehr große aufeinander folgende Zahlen aus der Fibonacci-Reihe, ich nenne sie hier „f“ und „g“. In diesem Beispiel soll „f“ die 49. und „g“ die 50. Zahl aus der Fibonacci-Folge sein.

f =  7778742049
g = 12586269025

daraus kann man Phi berechnen:

Phi = 12586269025 / 7778742049
Phi = 1,61803398875

jetzt brauchen wir das Quadrat von Phi:

Phi * Phi = 1,61803398875² = 2,61803398875

und daraus können wir jetzt Pi berechnen:

Pi = Phi * Phi * 6 / 5 = 3,1416407865

Die Genauigkeit ist natürlich höher, je größer die verwendeten Zahlen aus der Fibonacci-Folge sind.

Weil es Mathematik ist, geht es auch rückwärts:

Pi = 3.14159265358979323846264338327950...

leider rechnet mein Taschenrechner aber nur mit dieser Genauigkeit:

Pi = 3,141592654

und so sieht die Berechnung dann in einem Stück aus:

Phi² = Pi * 5 / 6
Phi² = 3,141592654 * 5 / 6
Phi² = 15,707963268 / 6
Phi² = 2,617993878
Phi  = Wurzel(2,617993878)
Phi  = 1,618021594

Also, ich finde es sehr bemerkenswert, dass man aus einer sehr einfach zu erstellenden Fibonacci-Folge, mit einer sehr einfachen Formel, sowohl Phi als auch Pi berechnen kann. Ebenso bemerkenswert finde ich, dass es zwischen Pi und Phi einen so einfachen mathematischen Zusammenhang gibt.

eulersche Zahl

eulersche Zahl: e = 2,718281828459

Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins Unendliche fortsetzt:

e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,…]

per Script

#!/bin/bash

echo "2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1" \
| tr -s '[;,]' '\n' \
| tac \
| while read ZAHL
do
        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
                FORMEL="${ZAHL}"
        else
                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
        fi
        echo "${FORMEL}"
done | tail -n1 | sed -e 's/.*/scale=64;&/' | bc -sl
2.7182818284642508923782694452544440585600629510636232896063239753

37-%-Regel

Die von Geoffrey Miller beschriebene Regel besagt nun: Man untersuche 37 % der Elemente der gegebenen Menge und finde darin das optimale Element. Dann untersucht man weiter einzelne Elemente, bis man ein Element findet, das besser ist als das bisher gefundene Optimum. Dieses Element wählt man.

Bekannt wurde die 37-%-Regel vor allem durch Geoffrey Miller, der sie in seinem Buch The Mating Mind als mögliches Verfahren für die Partnerauswahl beschreibt. Zurück geht die Regel auf das sogenannte Sekretärinnenproblem, für das Eugene Dynkin in einer Arbeit aus dem Jahr 1963 (also zwei Jahre vor der Geburt von Miller) die 1/e-Regel bewies: E. Dynkin, Optimal choice of the stopping time of a Markov process, DAN150, 2 (1963), 238-240 (Original in russisch). Es ist gerundet 1/e = 37 %.

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da „Pi“ irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Euler fand heraus, dass periodische Kettenbrüche (so wie bei der Quadratwurzel von 2 oder bei der goldenen Zahl) quadratischen Irrationalzahlen entsprechen, und Lagrange zeigte später, dass alle diese Zahlen periodische Kettenbrüche haben.

Man kann beweisen, dass jeder unendliche Kettenbruch konvergiert. Ganz ähnlich, wie man reelle Zahlen durch Dezimalzahlen darstellt, kann man weiter zeigen, dass

  • die Zuordnung Kettenbruch ←→ reelle Zahl bijektiv ist (d.h. zu jeder reellen Zahl es genau einen Kettenbruch gibt, der sie darstellt und umgekehrt)
  • und die endlichen Kettenbrüche gerade zu den rationalen Zahlen gehören.

Kettenbruch per Script

Aus den oben genannten Kettenbruch-Zahlenwerten für „Pi“, baut dieses Script den entsprechenden Kettenbruch zusammen:

#!/bin/bash

echo "3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4" \
| tr -s '[;,]' '\n' \
| tac \
| while read ZAHL
do
        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
                FORMEL="${ZAHL}"
        else
                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
        fi
        echo "${FORMEL}"
done | tail -n1
(3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(2+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(1+1/(84+1/(2+1/(1+1/(1+1/(15+1/(3+1/(13+1/(1+1/(4+1/(2+1/(6+1/(6+1/(99+1/(1+1/(2+1/(2+1/(6+1/(3+1/(5+1/(1+1/(1+1/(6+1/(8+1/(1+1/(7+1/(1+1/(2+1/(3+1/(7+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(1+1/(1+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(3+1/(1+1/(2+1/(4+1/(4+1/(16+1/(1+1/(161+1/(45+1/(1+1/(22+1/(1+1/(2+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(2+1/(24+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(10+1/(2+1/(5+1/(4+1/(1+1/(2+1/(2+1/(8+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(26+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(8+1/(2+1/(42+1/(2+1/(1+1/(7+1/(3+1/(3+1/(1+1/(1+1/(7+1/(2+1/(4+1/(9+1/(7+1/(2+1/(3+1/(1+1/(57+1/(1+1/(18+1/(1+1/(9+1/(19+1/(1+1/(2+1/(18+1/(1+1/(3+1/(7+1/(30+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(3+1/(1+1/(2+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(15+1/(1+1/(2+1/(13+1/(1+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(28+1/(1+1/(10+1/(3+1/(2+1/(20+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(5+1/(3+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/4))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Pentagonhexakontaeder

Das Pentagonhexakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten. Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.

pentagonhexakontaeder.jpg

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.


Ich finde diesen geometrischen Körper deshalb so interessant, weil hier ein kugelähnlicher 3D-Körper aus nur einer einzigen 2D-Geometrie besteht.

Normalerweise ist es üblich mindestens zwei verschiedene 2D-Geometrie zum erstellen eines kugelähnlicher Gebildes zu verwenden. Ein Fußball zum Beispiel besteht aus gleichseitigen 5-Ecken und 6-Ecken, auch ist es üblich 5-Ecke zusammen mit gleichseitigen 3-Ecken zu verwenden.

Hier wird aber nur eine einzige Geometrie verwendet.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

kgV.sh
#!/bin/bash
 
#------------------------------------------------------------------------------#
#
# Kleinstes gemeinsames Vielfaches
#
#------------------------------------------------------------------------------#
 
LANG=C
STOP=nein
V=1
#set -x
while [ "${STOP}" = "nein" ]
do
        V="$(echo "${V}" | awk '{print $1 + 1}')"
        R0=""
        TEST=ja
 
        for i in ${@}
        do
                R1="$(echo "${V} ${i}" | awk '{print $1/$2}')"
                R2="$(echo "${R1}" | egrep -v '[.].*[^0]')"
 
                if [ "x${R2}" = x ] ; then
                        TEST=nein
                else
                        R0="${R0} ${i}*${R2}=${V},"
                fi
        done
 
        if [ "${TEST}" = "ja" ] ; then
                STOP=ja
                echo "# ${R0}"
        fi
done
> ./kgV.sh 5 6 7
#  5*42=210, 6*35=210, 7*30=210,
mathematik.txt · Zuletzt geändert: 2020/05/09 02:48 von manfred